마할라노비스 거리란? 유클리드, 맨하탄 거리와 비교하고 공분산과 상관계수를 활용하는 법까지 완벽 정리! 🚀

1. 거리 계산, 왜 중요할까?

우리 일상에서 거리(distance) 개념은 아주 중요한 역할을 한다.
🚕 택시를 탈 때, 🗺 지도 앱이 최단 경로를 찾아줄 때, 📊 데이터 분석을 할 때도 우리는 거리를 계산한다.

하지만 거리 계산에도 여러 방식이 있다.

✔ 유클리드 거리: 두 점 사이의 직선 거리
✔ 맨하탄 거리: 격자형(직각 이동) 거리
✔ 마할라노비스 거리: 변수 간의 관계를 반영한 거리

이 중에서도 마할라노비스 거리(Mahalanobis Distance) 는 다차원 데이터 분석에서 강력한 도구다.
특히, 공분산(Covariance) 과 상관 계수(Correlation Coefficient) 를 활용하여 데이터의 분포를 고려한 거리를 계산한다.

그렇다면 마할라노비스 거리는 어떤 경우에 유용할까?
그리고 상관 계수는 마할라노비스 거리와 어떻게 연결될까?
이 글에서 자세히 알아보자! 🚀

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2. 유클리드 거리 vs. 맨하탄 거리 vs. 마할라노비스 거리

✅ 유클리드 거리 (Euclidean Distance)

유클리드 거리는 가장 기본적인 거리 개념이다.
두 점 (x₁, y₁)과 (x₂, y₂) 사이의 직선 거리(최단 거리) 를 계산하는 방식이다.

📌 공식:

DE=(x2−x1)2+(y2−y1)2D_E = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}DE​=(x2​−x1​)2+(y2​−y1​)2​

✔ 예제:
(1, 2)와 (4, 6) 사이의 유클리드 거리

DE=(4−1)2+(6−2)2=9+16=25=5D_E = \sqrt{(4 - 1)^2 + (6 - 2)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5DE​=(4−1)2+(6−2)2​=9+16​=25​=5

하지만 현실에서는 직선으로 이동할 수 없는 경우가 많다.
🛣 도로가 곡선일 수도 있고, 🚧 장애물이 있을 수도 있다!

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✅ 맨하탄 거리 (Manhattan Distance)

맨하탄 거리는 X축과 Y축을 따라 직각으로만 이동 하는 거리 계산법이다.
뉴욕 맨해튼처럼 격자형 도로에서 사용하기 적합하다.

📌 공식:

DM=∣x2−x1∣+∣y2−y1∣D_M = |x_2 - x_1| + |y_2 - y_1|DM​=∣x2​−x1​∣+∣y2​−y1​∣

✔ 예제:
(1, 2)와 (4, 6) 사이의 맨하탄 거리

DM=∣4−1∣+∣6−2∣=3+4=7D_M = |4 - 1| + |6 - 2| = 3 + 4 = 7DM​=∣4−1∣+∣6−2∣=3+4=7

📌 특징:

• 🚖 택시가 블록 단위로 이동할 때 유용
• 📍 격자형 도로를 따라 이동하는 경우 최적의 거리 계산법

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✅ 마할라노비스 거리 (Mahalanobis Distance)

마할라노비스 거리는 단순한 거리 개념이 아니다!
변수 간의 상관관계를 고려하여 거리를 측정하는 방식으로, 데이터의 분포를 반영한 거리 계산법이다.

📌 공식:

DM=(X−μ)TS−1(X−μ)D_M = \sqrt{(X - \mu)^T S^{-1} (X - \mu)}DM​=(X−μ)TS−1(X−μ)​

✔ 설명:

• XXX : 데이터 포인트 벡터
• μ\muμ : 평균 벡터
• SSS : 공분산 행렬 (Covariance Matrix)
• S−1S^{-1}S−1 : 공분산 행렬의 역행렬

✔ 예제:
평균 키가 175cm, 평균 몸무게가 70kg인 그룹이 있다고 하자.
한 사람이 키 190cm, 몸무게 90kg이라면?
유클리드 거리로 보면 멀어 보이지만, 마할라노비스 거리로 보면 그룹 내에서 정상적인 값일 수 있다!

📌 특징:

• 📊 데이터가 얼마나 정상적인지(이상치 탐지)에 활용
• 🤖 머신러닝과 데이터 분석에서 다차원 거리 계산에 필수

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3. 마할라노비스 거리에서 상관 계수는 어떤 역할을 할까?

마할라노비스 거리 자체는 상관 계수를 직접 사용하지 않는다.
하지만 마할라노비스 거리 계산의 핵심인 공분산 행렬(Covariance Matrix) 이 상관 계수의 영향을 받는다!

즉, 데이터의 상관 계수를 분석하면, 마할라노비스 거리를 사용할 필요가 있는지 판단할 수 있다.

✅ 공분산(Covariance)와 상관 계수(Correlation Coefficient)의 관계

공분산 행렬 SSS 는 다음과 같이 정의된다.

S=[Var(X)Cov(X,Y)Cov(Y,X)Var(Y)]S = \begin{bmatrix} Var(X) & Cov(X, Y) \\ Cov(Y, X) & Var(Y) \end{bmatrix}S=[Var(X)Cov(Y,X)​Cov(X,Y)Var(Y)​]

이를 표준화하면 상관 계수 행렬 RRR 이 된다.

R=[1ρXYρXY1]R = \begin{bmatrix} 1 & \rho_{XY} \\ \rho_{XY} & 1 \end{bmatrix}R=[1ρXY​​ρXY​1​]

여기서 ρXY\rho_{XY}ρXY​ 는 피어슨 상관 계수(Pearson Correlation Coefficient) 로, 두 변수 간의 선형 관계를 나타낸다.

✔ 즉, 마할라노비스 거리 계산 시 사용되는 공분산 행렬이 상관 계수의 영향을 받기 때문에, 데이터의 상관 계수를 분석하면 마할라노비스 거리 사용 여부를 결정할 수 있다.

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4. 언제 마할라노비스 거리를 사용할까?

✅ 상관 계수가 높다면 → 마할라노비스 거리 사용 권장

• 변수가 서로 강한 상관 관계(ρ>0.8\rho > 0.8ρ>0.8)를 가진다면, 유클리드 거리(Euclidean Distance) 를 사용하면 왜곡될 수 있음
• 마할라노비스 거리는 상관 관계를 보정하여 거리 계산을 수행하기 때문에 적합함

✅ 상관 계수가 낮다면 → 유클리드 거리로 충분할 수도 있음

• 변수가 독립적이거나 상관 계수가 낮다면, 마할라노비스 거리와 유클리드 거리의 차이가 크지 않음
• 이 경우, 유클리드 거리(Euclidean Distance) 를 사용해도 충분할 가능성이 높음

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5. 예제: 유클리드 거리 vs. 마할라노비스 거리 비교

(1) 상관 계수가 높은 경우

📌 키(cm)와 몸무게(kg)의 관계

키(cm)몸무게(kg)

160	50
165	55
170	60
175	65
180	70

✔ 키와 몸무게는 강한 양의 상관 관계를 가지므로, 유클리드 거리만으로는 제대로 구별하기 어려움 → 마할라노비스 거리 사용 권장 ✅

(2) 상관 계수가 낮은 경우

📌 키(cm)와 IQ의 관계

키(cm)IQ

160	110
165	108
170	105
175	112
180	107

✔ 키와 IQ는 거의 상관이 없으므로, 단순한 거리 계산(유클리드 거리)으로 충분할 가능성이 높음 → 마할라노비스 거리 불필요 ❌

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6. 결론 🚀

✔ 마할라노비스 거리 사용 여부를 결정할 때, 상관 계수가 중요한 기준이 된다! 🚀